Leo Koenigsberger: Hermann von Helmholtz

Helmholtz als Professor der Physiologie in Heidelberg
von Michaelis 1858 bis Ostern 1871.

Brief von Eugenio Beltrami an Hermann von Helmholtz
vom 24. April 1869

„C'est après beaucoup d'hésitations que je me suis décidé à prendre la plume pour vous adresser ces lignes, car il m'a toujours semblé que si l'on craint beaucoup, en général, d'importuner les grands de ce monde pour des choses de peu d'importance, à plus forte raison on devrait se garder d'occuper même une faible portion du temps dont les princes de l'esprit se servent si généreusement pour les progrès de l'humanité. Cependant, ayant beaucoup plus d'exemples de la bienveillance de ces derniers que de la condescendance de ceux-là, j'ai fini par céder à mon vif désir de vous communiquer mes réflexions . . . Autant qu'il m'est donné de pénétrer dans le véritable sens de vos belles recherches, je n'y rencontre aucune conclusion que je ne puisse vérifier par les points de vue, qui me sont particuliers, et que j'ai exposés, en partie, dans les deux publications intitulées: Saggio di interpretazione della geometria non euclidea et Theoria fundamentale degli spazii di curvatura costante, que j'ai eu l'honneur de vous adresser, il y a quelque temps. (Seite 154) II n'y a qu'un point sur le quel j'ai à vous demander des lumières. Ce point .... Cette conclusion est confirmée, sans démonstration proprement dite, vers la fin (§. 4) de la note de Goettingue, où, cependant, elle est rapportée à un espace de trois dimensions. Or, cela paraîtrait en contradiction avec le fait, que j'ai démontré, ou que j'ai cru de démontrer, au sujet de la surface pseudosphérique (c'est à dire à mesure de courbure constante, mais négative), je veux dire le fait de l'étendue infiniment grande de cette surface en tous sens. Et ce qui me porterait à croire à la vérité de ce fait, c'est que toutes les autres propriétés de cette surface, déduites d'après le même ordre de considérations et de formules, ont été vérifiées par moi sur un cercle pseudosphérique du diamètre de 1,04 m que j'ai construit d'après un procédé approximatif, dont je publierai la description, et qui me semble très approprié à populariser les nouvelles conceptions sur la géométrie abstraite. Maintenant, voici la seule manière que j'ai entrevue, jusqu'à présent, pour mettre d'accord ces deux conclusions opposées. L'ensemble de mes déductions repose sur la représentation des surfaces par la formule de Gauss ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2. Or, dans cette méthode les rapports de la surface et de l'espace environnant échappent entièrement: la surface est considérée en elle même, telle qu'elle le serait par un être, qui n'eût pas le sens de la troisième dimension. II s'ensuit que, si la surface, telle qu'elle existe dans l'espace, se coupe elle-même le long de certaines lignes, cela est comme non-avenu d'après la formule précédente: la coincidence de deux points de la surface en un même point de l'espace est, en d'autres termes, un fait étranger, hétérogène à ceux que la formule de Gauss, à elle seule, peut nous apprendre. C'est précisément ici que l'on rencontre un des points d'attache entre l'oeuvre de Gauss et celle de Riemann; et, si je ne suis tout-à-fait dans l'erreur, c'est encore par le développement de cet ordre d'idées que l'on pourra (Seite 155) comprendre, comment Gauss, sans quitter ce champ favori, pouvait pénétrer dans la géométrie de Bolyai et de Lobatchewsky; car en effet, sa géométrie des surfaces, tant qu'elle ne puise rien dans la géométrie analytique ordinaire, est indépendante du postulat XI. Mais revenons à la question.

Quand on cherche à passer de l'expression différentielle de l'élément linéaire à l'équation ordinaire de la surface, les exigences et les accidents des figures de deux dimensions, considérées dans l'espace de trois, reparaissent. Ce passage, c'est à dire l'intégration des surfaces à courbure négative constante (pour le cas de la courbure positive c'est la même chose), n'a pas encore été faite que dans des cas très particuliers, que je sache. On ne connaît, parmi les formes infinies (dont mon petit modèle me donne l'agréable spectacle), que la surface pseudosphérique peut prendre, que des surfaces de rotation et des hélicoïdes. Or ces formes spécielles ont un caractère commun, c'est de ne pouvoir servir au développement de la surface entière; il faut, pour les produire, couper la surface suivant une ou deux lignes. Elles ne peuvent donc même en supposant, pour les surfaces de rotation, que la surface absolue y soit enroulée un nombre infini de fois sur elle-même, reproduire l'infinité en tous sens de la surface absolue.

Je suis donc obligé de supposer que vous ayez la preuve, ou du moins la très-forte présomption, que quelque forme concrète que l'on puisse donner à la surface pseudosphérique, toujours celle-ci doive être coupée, pour pouvoir les prendre, soit pour empêcher le déchirement des parties, qui dépassent certaines limites (comme pour les surfaces spécielles citées), soit pour empêcher la rencontre de deux nappes différentes. Si l'on fait abstraction de ces difficultés, qu'on pourrait appeler d'ordre pratique, il me semble, que la surface, logiquement considérée, soit infinie, à la même manière du plan. Je croirais la même chose pour (Seite 156) les espaces de courbure constante négative, sous les mêmes restrictions.

J'ai tenu à vous montrer que l'opposition, qui existe parmi vos résultats et les miens, ne m'a donné que le désir de connaître les considérations à l'aide desquelles le votre pouvait être établi. C'est le moindre des devoirs, qu'un élève a à remplir vis à vis d'un maître.“

S. 153 - 156 aus:
Koenigsberger, Leo: Hermann von Helmholtz. - Braunschweig : Vieweg
Band 2. - 1903

Letzte Änderung: 24.05.2014     Gabriele Dörflinger   Kontakt

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