Über Wert und angeblichen Unwert der Mathematik.

Von ALFRED PRINGSHEIM in München.

Anmerkungen

357-1)
Festrede, gehalten in der öffentlichen Sitzung der kgl. bayer. Akademie der Wissenschaften zu München am 14. März 1904.
357-2)
Via regia ad mathematicas per arithmeticam, algebram et planimetricam. A Petro Mengolo. Bononiae 1655,
357-3)
Hermama Hankel, Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten. Antrittsrede. Tübingen 1869 (2. Aufl. 1884).
358-1)
Novalis Schriften, herausg. von K. Heilborn (Berlin 1901). Teil II, erste Hälfte, S. 223.
359-1)
Über die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde, 39 = Werke, herausg. von J. Frauenstädt, I, S. 135–139. Die Welt als Wille und Vorstellung, I, 14 = Werke II, S. 82–87.
359-2)
Welt als Wille etc. IL Kap. 13 = Werke III, S. 142, — Die Mathematiker haben in Wahrheit sehr schwerwiegende Gründe gegen die von Schopenhauer als Evangelium angesehene Kantische Transzendentalität der Raumanschauung. Vgl. Gauß, Werke (1876). II, S. 177. — Riemann, Werke (1876), S. 254. — Helmholtz, Wissensch. Abhandlungen II (1883), S. 610; 618, — P. Stäckel und Fr. Engel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauß. Leipzig 1895. — D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Leipzig 1903.
359-3)
Es ist der Spezialfall des rechtwinklig-gleichschenkeligen Dreiecks, der die Richtigkeit des Satzes für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck kaum vermuten läßt, geschweige denn, wie Schopenhauer behauptet, „ohne alles Gerede, von der Wahrheit des Pythagoreischen Lehrsatzes zwanzigmal mehr Überzeugung gibt, als der Euklidische Mausefallenbeweis“. Der fragliche Beweis selbst findet

sich im wesentlichen schon bei Plato: s. M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. l (1880), S. 186 (vgl. auch ebendaselbst, S. 623: desgl. Bd. II S. (1892, S. 277). Versucht man, jenen Beweis (s. Fig. I) auf den Fall eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks zu übertragen, wie es zuerst wohl ein Anonymus getan hat: Lond. Philos. Transactions. Vol. 13 [1683], S 673), so nimmt derselbe einen wesentlich weniger befriedigenden Charakter an: es gelingt auf diese Weise nicht beweisen, daß die betreffenden Figuren „zerlegungsgleich“, sondern nur, daß sie „ergänzungsgleich“ sind (s. Fig. II). Im übrigen kannten schon im frühen Mittellalter die Inder und Arabar (vgl. Cantor a. a. O. I, S. 557; 639) einen direkten

„Zerlegungs“-Beweis, der auf der Doppelgleichung c2 = (a-b)2 + 2ab = a2 + b2 beruht. Ordnet man die zur geometrischen Veranschaulichung dieser Doppelgleichung erforderliche Zerschneidung und Umlegung in der Weise an, wie es durch Fig. III angedeutet wird, so gelangt man, nach Weglassung der sich als überflüssig erweisenden Schnitte (s. Fig. IV), zu dem überaus einfachen und eleganten Zerschneidungsbeweise des An-Nairizi (= Anaritius, um 900 n. Chr.; Vgl. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, II [Leipzig 1903], S. 73).
360-1)
Trotz allen Herumredens (Vierf. Wurzel des Satzes etc. 36–39) gelingt es Schopenhauer überhaupt garnicht, eine scharfe and brauchbare Definition des nach seiner Ansicht existierenden, spezifisch mathematischen Seinsgrundes aufzustellen.
360-2)
Mit Hilfe der schließlich auf den Axiomen beruhenden Kongruenz gewisser Dreiecke wird bewiesen, daß die betreffenden Figuren der Definition der Gleichheit („Zerschneidungsgleichheit“) genügen. — Vgl auch: Wilhelm Wundt, Logik, 2. Auflage (Stuttgart 1893) I, S. 569–571.
360-3)
Parerga II, 35 = Werke VI, S. 52. .
361-1)
Vgl. „On the mechanical performance of logical inference“: Lond. Philos. Transactions, Vol. 160 (1870), S. 497–518.
361-2)
Es ist mir natürlich nicht unbekannt, daß der Rechenunterricht an den Mittelschulen ein etwas höheres Ziel verfolgt, als auf den Volksschulen: er soll zugleich als Vorbereitung für den Unterricht in der wirklichen („allgemeinen“) Arithmetik dienen. Aber abgesehen davon, daß diese Tendenz in den ersten zwei, ja sogar drei Klassen auf die Gestaltung des Rechenunterrichts einen kaum merklichen Einfluß übt, so ist doch schließlich eine „arithmetische Propädeutik“ noch keine „Arithmetik“. Überhaupt sollte man sich entschließen, die von den wissenschaftlichen Mathematikern jetzt allgemein akzeptierte Terminologie auch auf den Mittelschulen einzuführen und danach die „Buchstabenrechnung“, d. h. die Lehre vom Rechnen mit allgemeinen Zahlen, nicht mehr „Algebra“, sondern „Arithmetik“ zu nennen, dagegen die Bezeichnung „Algebra“ für die Lehre von des Gleichungen zu reservieren.
362-1)
Der fragliche Ausspruch Lichtenbergs findet sich innerhalb einer Reihe von aphoristischen Bemerkungen, deren jede von der vorangehenden durch einen breiten Zwischenraum und drei Sternchen typographisch getrennt ist. Damit erscheint also jede Möglichkeit ausgeschlossen, daß etwa Schopenhauer jenen einen Satz übersehen haben könnte: es handelt sich daher ganz unzweifelhaft, wie im Texte bemerkt, um eine vollkommen bewußte Fälschung.
362-2)
Welt als Wille etc. I, 12 = Werke II, S. 64, 65.
363-1)
Dieser tiefsinnige Unsinn klingt so wunderschön, daß selbst Hegel nichts Vollkommeneres dieser Art hätte zustande bringen können. Bekanntlich liegt gerade die prinzipielle Hauptschwierigkeit der Analysis in der Schöpfung des eindimensionalen Zahlenkontinuums, nicht aber in dessen Verwertung zum Studium der Beziehungen im dreidimensionalen Raume, da ja hierzu keineswegs, wie Schopenhauer offenbar annimmt, eine stetige Abbildung des dreidimensionalen Kontinuums auf das eindimensionale, sondern lediglich die Hinzunahme des Koordinatenbegriffes erforderlich ist.
365-1)
Welt als Wille etc., I, 15 = Werke II, S. 82.
365-2)
Über die vierfache Wurzel etc. = Werke I, S. 77. Eine Variante der im Text zitierten Stelle: Parerga II 35. Fußnote = Werke VI, S. 52, 53.
365-3)
Nachlaß, herausg, von Frauenstaedt, S. 329.
365-4)
Hieran wäre noch generell zu bemerken, daß manches, das unsere Sinne als ein „Was“ empfinden, in Wahrheit lediglich anf einem „Wieviel“ beruht; mit anderen Worten, daß Unterschiede, die uns subjektiv als qualitative erscheinen, objektiv nur quantitative sind, z. B. Tonhöhe = Schwingungszahl der Luftwellen; Klangfarbe = Anzahl and Intensität der dem Grundtone beigemischten Obertöne; Farbe = Schwingungszahl der Lichtwellen bezw. Mischungsverhältnis von Lichtstrahlen verschiedener Schwingungszahl.
366-1)
William Hamilton (1788–1856), seit 1836 Professor der Logik und Metaphysik an der Universität Edinburg. Die fragliche Abhandlung in Form einer Rezension der Whewellschen Schrift: „Thoughts on the study of mathematics as part of a liberal education“ (1836) erschien zunächst anonym in der Edinburgh Review, Vol. 62 (1836), p. 409–455; später in einer Sammlung von Abhandlungen des genannten Verfassers. Deutsche Übersetznug (gleicfalls anonym) unter dem Titel: „Über den Wert und Unwert der Mathematik“ (Kassel 1836).
366-2)
Welt als Willee etc., II, 13 = Werke III, S 144.
367-1)
Wörtliche Übersetzung des von Schopenhauer in der Ursprache zitierten französischen Originals.
367-2)
Voller Korrektheit zuliebe teile ich die ganze fragliche Stelle aus Baillets Vie de Descartes (nach der von Schopenhauer benutzten, abgekürzten Ausgabe von 1693) hier mit. Die beiden gesperrt gedruckten Sätze sind die einzigen, welche Schopenhauer zitiert. A. a. O. S. 54 heißt es: „Il y avait déja longtemps que sa propre expérience l'avait convaineu du peu d'utilité des Mathématiques, surtout lorsqu'on ne les cultive que pour elles-mêmes, sans les appliquer à d'autres choses. Depuis l'an 1620 il avait entièrement négligé les règles de l'Arithmétique. Les attaches qu'il eut pour la Géométrie subsistèrent un peu plus longtemps dans son coeur, parceque les mathématiciens de Hollande et d'Allemagne qu'il avait vus pendant ses voyages avaient contribué à les rèsoudre. Mais on peut dire qu'elles étaient tombées dès l'an 1623, s'il et vrai qu'en 1638 il y avait plus de quinze ans qu'il faisait profession de négliger la Géométrie, et de ne plus s'arréter jamais à la solution d'aucun problème qu'a la prière de quelque ami. Il ne voyait rien de moins solide que de s'occuper de nombres tout simples et des figures imaginaires, sans porter ses vues au delà.(367-*) Il y trouvait même quelque chose de plus qu'inutile: et il croyait qu'il ètait dangereux de s'appliquer trop sérieusement à ces démontrations superficelles, que l'industrie et l'expérience fournissent moine souvet que le hazard; et qui sont plutôt du ressort des yeux et de l'immagination que de celui de l'entendement. Sa maxime était que cette application nous désaccoutume insensiblement de l'usage de notre raison, et nous expose à perdre la route que la lumière nous trace.(367-**) Mais on peut dire qu'il n'ababdonna l'étude particulière de l'Arithmétique et de la Géométrie, que pour se donner tout entier à la recherche de cette Science générale, mais vrais et infaillible, que les Grecs ont nommée judicieusement Mathesis, et dont toutes les Mathématiques ne sont que des parties. Il prétendait que ces connaissances particulières pour mériter le nom de Mathématiques devraient avoir des rapports, des proportions et des mesures pour objet. Delà il jugeait qu'il y avait une Science générale destiné à expliquer toutes les questions que l'on pourrait faire touchant les rapports, les proportions et la mesures, en les considérant comme détachées de toute matière; et que cette Science générale pouvait à très-juste titre porter le nom Mathesis ou Mathématique universelle, puisqu'elle renferme tout ce qui peut faire mériter le nom de Science et de Mathématique particulière aux autres connaisances. Voilà le dénouement de la difficulté qu'il y aurait à croire que M. Descartes cût absolument renoncé aux Mathématiques, en un temps oú il ne lui était plus libre de les ignorer.“
367-*)
In der großen Ausgabe der Vie de Descartes von 1691, I, S. 112 lautet dieser Nachsatz noch ausführlicher und prägnanter: „Comme si l'on devait s'en tenir à ces bagatelles sans porter sa vue au dela.“
367-**)
Hier folgt in der großen Ausgabe noch eine längere Ausführung, die mit den Worten beginnt: „Voilà une partie des motifs qui le portèrent à renoncer aux Mathématiques vulgaires. Mais il parait que le respect qu'il témoignait pour les Anciens l'empéche depousser le mépris qu'il faisali de ces Sciences au delà des temps et de lieux où il touvait de l'abus la maniére de les cultiver ou de les enseigner.“ Weiterhin heißt es: „Descartes ne fut pas le premier qui s'apercut du mauvais état où était cette Science des Anciens, et des abus qu'y avaient commis ceux qui l'avaient recue d'eux d'une manière toute unie et toute simple.“
369-1)
Descartes, Lettres (Paris 1667), T. III, p. 427.
369-2)
Dieser Vorwurf erscheint übrigens nicht ganz berechtigt gegenüber der von Descartes a. a. O. auch erwähnten Fermatschen Abhandlung: „De Maximis et Minimis“ (abgedruckt in P. de Fermat, Varia opera mathematica, Tolosae 1679, S. 63–73: jedoch schon aus dem Jahre 1629 stammend, wie ein Brief an Roberval vom 29. September 1636 beweist, der gleichfalls in den Op. math. S. 136 sich abgedruckt findet). — Fermats Grundlagen der analvtisichen Geometrie sind enthalten in der Abhandlung: „Ad locos planos et solidos isagoge“ (Op. math S. 1–11); die Zeit der Abfassung ist nicht genau bekannt.
369-3)
Ähnlich äußert sich zwar auch Schopenhauer über die Arithmetik (Vierf. Wurzel des Satzes etc., 46 = Werke, I, S. 151), wie er auch in der „Mathematik in jeder Hinsicht Wissenschaft“ erblickt (Welt als Wille etc., I, 14 = Werke, II, S. 75) Nur verhindert ihn leider seine völlige Unkenntnis jener Wissenschaft, sie auch richtig zu schätzen.
369-4)
La vie de Descartes, Gr. Ausgabe von 1691, II S. 481.
370-1)
A. a. O. S. 424 = Übers.. S. 28.
371-1)
Sehr ausführliche und interessante Biographien von Monge, Carnot und Fourier aus der Feder Aragos findet man in dessen Oeuvres complètes (Paris 1854–1862), T. I, II auch deutsch von W. G. Hankel, Leipzig 1854–1862, Bd. I, II).
371-2)
Vgl. die Vorrede zum ersten Bande des „Traité des propriétés projectives des figures“ (1822, auch abgedruckt in der zweiten Auflage von 1865); ferner die Vorreden zu den zwei Banden: „Applications d'analyse et de géométrie etc.“ (Paris 1862–1864).
372-1)
Charles de Freycinet, De l'analyse infinitésimale. Etude sur la métaphysique du haut calcul. Paris 1860 (2. Éd. 1881). — Essais sur la Philosophie des Sciences: Analyse, Mécanique. Paris 1896 (2. Éd. 1900).
372-2)
A. a. O. S. 427 = Übers. S. 33. weitem nicht genügend ausgenützt zu werden scheint, wenigstens so weit meine
374-1)
„Daß die Anlage zur Mathematik seltener sei als zu anderen Studien, ist bloßer Schein, der von verspäteten und vernachlässigten Anfängen herrührt“ — sagt schon Herbart: Werke, herausg. von Hartenstein, Bd. 10, S. 103.
375-1)
Das Realgymnasium und die humanistische Bildung (Berlin 1889), S. 34.
375-2)
Über den Bildungswert der Mathematik. Akad. Festrede (Gießen 1894), S. 7.
376-1)
Gerade weil das humanistische Gymnasium keine Fachschule sein soll, so müßte es doch auch diejenigen, die später Mathematik oder Physik studieren wollen, soweit fördern, daß sie im ersten Studiensemester mit genügendem Verständnis einer Universitätsvorlesung über Differentialrechnung folgen können. Das ist, nach den von mir gemachten Erfahrungen, bei dem jetzigen Zustande im allgemeinen nicht der Fall.
377-1)
Als wünschenswerte Ergänzungen würde ich etwa bezeichnen: Elemente der Kombinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Binomischer Satz, auch für negative and gebrochene Exponenten, mit Übergang zu den Elementen der Reihenlehre, Exponentialfunktion und Logarithmus als Grenzwerte und unendliche Reihen. — Einige Hauptsätze aus der höheren Algebra: Begriff der Derivierten einer ganzen Funktion. Maxima und Minima ganzer Funktionen. Rollescher und Sturmscher Satz. Unterschied zwischen algebraischer und numerischerAuflösung algebraischer Gleichungen. Einiges über numerische Auflösung.
378-1)
Nova medicinae methodus nunc primum et condita et aedita ex mathematica ratione morbos curandi. Joanne Hasfurto Virdungo, medico et astrologo doctissimo autore. Ettelingae 1532 — Natürlich läuft diese ganze mathematische Kuriermethode auf eine Anwendung der Astrologie hinaus.
378-2)
Als Anhang erschienen zu: Johann Jakob Schmidt, Biblischer Mathematikus. 2. Auflage, Züllichau 1749.
378-3)
Cours de philosophie positive (Paris 1830–1848), T. I, S. 114: „C'est la science mathématiqne qui doit constituer le véritable point de départ de toute éducation scientique rationelle, soit génerale, soit spéciale.“
379-1)
A. a. O. T. III S. 414–416.
379-2)
Vgl. das ausführliche Lehrbuch über: Theoretische Chemie von W. Nernst (4. Auflage, Stuttgart 1903).
379-3)
Hierhin gehören namentlich die Arbeiten über: Physiologische Mechanik (Mechanik der Gliederbewegung, des Blutumlaufes, der Atmung, etc), Physiologische Optik und Akustik.
379-4)
Eine kritische Übersicht der einschlägigen Literatur gibt V. Pareto in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. I, S. 1094–1120. .
379-5)
Vgl. den Artikel von L. von Bortkiewicz in der Enzykl. d. mathem. Wissensch., Bd. I, S. 821–851.
379-6)
Ebendaselbst S. 852–917: G. Bohlmann, Lebensversicherungs-Mathematik. — Eine populäre Darstellung des Gebietes gibt: M. Cantor, Politische Arithmetik. Leipzig 1903.
379-7)
A. a. O. T. II S. 8.
379-8)
Grundlegende Publikation: G. Kirchhoff, Über die Frauenhoferschen Linien. Berl. Monatsber. 1859, S. 662 = Kirchhoff, Gesammelte Abhandlungen (Leipzig 1862), S. 564.
379-9)
Kirchhoff, Ges. Abh., S. 566–598. Vgl. auch; S. 633/634, 641; ferner: Rosenberger, Geschichte der Physik, III (Braunschweig 1887–1890). S. 691 ff.
379-10)
Herbart, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik und Mathematik. Ges. Werke, herausg. von Hartenstein, Bd. V, VI.
379-11)
M. W. Drobisch, Erste Grundlinien der mathematischen Psychologie (Leipzig 1860), Vorrede. Vgl. auch Wilhelm Wundt, Grundzüge der physiologischen Psychologie, I (5. Auflage, Leipzig 1902), S. 7.
380-1)
Wundt a. a. O., Kap. IX, S. 466 ff.
380-2)
Ausführliches Literaturverzeichnis in Ernst Schröders Algebra der Logik, I (Leipzig 1890), S. 700–715.
380-3)
M. Herzfeld, Leonardo da Vinci (Leipzig 1904), S. 8, XXIII
381-1)
Allgemeine Betrachtungen über die Wechselwirkung zwischen der reinen Mathematik und ihren Anwendungen geben: William Spottiswoode, Die Mathematik in ihren Beziehungen zu den anderen Wissenschaften. Deutsch von H. Gretschel. Leipzig 1879. — H. Poincaré, Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique. Acta mathematica, 21 (1897). — Walther Dyck, Über die wechselseitigen Beziehungen zwischen der reinen und angewandten Mathematik. Akad. Festrede. München 1897. DT>382-1)
A. a. O. (s. Note 1, S. 358).

Letzte Änderung: 07.06.2024     Gabriele Dörflinger   Kontakt

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